Главная / Гражданское право / На Какое Число Делится 47

На Какое Число Делится 47

Содержание

Признаки делимости
На Какое Число Делится 47
Признаки делимости на 15: как найти, примеры и задачи с решением
На Какое Число Делится 47
Основные признаки делимости
Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка

Признаки делимости

Как определить делится ли число на 4 : две последние цифры в числе должны делиться на 4 ( 00 принимается за 100 ). Пример: 87524 делится на 4 , так как последние цифры 24 делятся 4; 6500 делится на 4 , так как последние цифры – 00 , а 100 делится на 4; 59431 не делится на 4 , так как 31 не делится на 4 без остатка.

Как определить делится ли число на 6 : число должно делится одновременно на 2 и на 3 , согласно вышеописанным признакам. Пример: 81 не делится на 6 , так как оно делится на 3 , но не делится на 2; 100 не делится на 6 , так как оно делится на 2 , но не делится на 3; 72 делится на 6 , так как оно делится и на 2 , и на 3 .

Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

Цифру 79516 можно разделить на 2, так как она заканчивается на 6— четное число; 9651 не поделится на 2, так как 1 — цифра нечетная; 1790 поделится на 2, так как конечная цифра нуль. 3470 поделится на 5 (заключительная цифра 0); 1054 не поделится на 5 (конечная цифра 4). 7800 поделится на 10 и на 100; 542000 поделится на 10, 100, 1000.

Число 296492. Возьмем последнюю цифру «2», удваиваем, выходит 4. Вычитаем 29649 — 4 = 29645. Проблематично выяснить делится ли оно на 7, следовательно анализируемом снова. Далее удваиваем последнюю цифру «5», выходит 10. Вычитаем 2964 — 10 = 2954. Результат тот же, нет ясности, делится ли оно на 7, следовательно продолжаем разбор. Анализируем с последней цифрой «4», удваиваем, выходит 8. Вычитаем 295 — 8 = 287. Сверяем двести восемьдесят семь – не делится на 7, в связи с этим продолжаем поиск. По аналогии последнюю цифру «7», удваиваем, выходит 14. Вычитаем 28 — 14 = 14. Число 14 делится на 7, итак исходное число делится на 7.

Наиболее незамысловатый признак делимости для единицы: на единицу делится все числа. Так же элементарно и с признаками делимости на два, пять, десять. На два можно поделить четные число либо то у которого итоговая цифра 0, на пять – число у которого конечная цифры 5 или 0. На десять поделятся только те числа, у которых заключительная цифра 0, на 100 — только те числа, у которых две заключительных цифры нули, на 1000 — только те, у которых три заключительных нуля.

Число 103 785 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, 1 + 3 + 8 = 12 равна сумме цифр, размещающихся на четных местах 0 + 7 + 5 = 12. Число 9 163 627 делится на 11, так как сумма цифр, размещающихся на нечетных местах, есть 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а сумма цифр, размещающихся на четных местах, есть 1 + 3 + 2 = 6; разность между числами 28 и 6 есть 22, а это число делится на 11. Число 461 025 не делится на 11, так как числа 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не равны друг другу, а их разность 11 — 7 = 4 не делится на 11.

На Какое Число Делится 47

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признаки делимости на 15: как найти, примеры и задачи с решением

Если число не является простым, то его можно разложить на множители. Например, 33 – это произведение 3 и 11, а 45 – 9 и 5. Существует свойство, согласно которому число делится на данное без остатка в случае, если его можно разделить и на тот, и на другой множитель. Это значит, что любое большое число можно представить в виде простых, и уже исходя из них, формулировать признак делимости.

Итак, нам нужно узнать, можно ли разделить данное число на 15. Для этого рассмотрим его подробнее. Число 15 можно представить, как произведение 3 и 5. Значит, чтобы число делилось на 15, оно должно быть кратно одновременно 3 и 5. Это и есть признак делимости на 15. В дальнейшем мы рассмотрим его подробнее и сформулируем точнее.

Итак, теперь мы можем полноценно сформулировать признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда сумма его цифр кратна 3, а последней цифрой является или 5, или 0. Важно отметить, что оба этих условия должны выполняться одновременно. Иначе мы получим число кратное не 15, а только 3 или 5.

Признак делимости чисел на 15 очень часто нужен для решения контрольных и экзаменационных заданий. Например, зачастую в базовом уровне ЕГЭ по математике встречаются задачи, основанные на понимании именно этой темы. Рассмотрим некоторые их решения на практике.

Зачастую при решении задач нужно узнать, делится ли то или иное число на заданную цифру без остатка. Но каждый раз делить его очень долго. К тому же велика вероятность допустить ошибку в расчетах и уйти от правильного ответа. Для того чтобы избежать этой проблемы, были найдены признаки делимости на основные простые или однозначные числа: 2, 3, 9, 11. Но что делать, если нужно произвести деление на другую, большую цифру? Например, как рассчитать признак делимости на 15? Ответ на этот вопрос мы постараемся найти в данной статье.

Вам будет интересно ==> Через сколько снижается цена на арестованное имущество

Исходя из методики, можно сформулировать такое свойство, позволяющее узнать, делится ли исходное значение на 4: величина на четверку делится в том случае, когда является четной и число, образованное разрядами десятков и единиц, можно поделить на это значение без остатка.

При упрощении выражений необходимо знать некоторые особенности или правила с примерами. Признаки делимости на 4 вызывают сложности у учеников в 5 классе. Для изучения этой темы специалисты предлагают использовать научный подход, который основан на психофизиологических особенностях работы головного мозга. Он включает ознакомление с основными элементами теории и алгоритмом.

Записать число: 212.
Проверить на четность: 212 — четное, т. к. последний разряд заканчивается на двойку.
Число, образованное из двух последних цифр: 12.
Вывод: 212 можно без остатка поделить на 4, поскольку значение является четным, а две последние элементы разрядной сетки делятся на четверку.

Деление — арифметическая операция, позволяющая найти один из множителей при их произведении. Иными словами, деление является обратным действием относительно умножения. Записывается оно следующим образом: U/T=V. Далее следует подробно разобрать каждый из элементов операции:

Если выполнить операцию «212/4» при помощи калькулятора, то можно получить целочисленное значение, которое равно 53. Чтобы понять принцип действия алгоритма, нужно придумать любое число, и попытаться поделить его на четверку. Например, нужно разделить 4325624 на 4. Для этого требуется сначала выяснить кратность искомого числа четырем. Решать задачу нужно таким образом:

На Какое Число Делится 47

Положим в корзинку формулы (1) , (2) и (3) . Они нам пригодятся в дальнейшем.
Начало нашей прогулки очень удачное. Теперь можно сформулировать теорему.

ТЕОРЕМА 1:
Пусть (x + my) делится на P, m = (1-kP)/10 , N = 10x + y. Тогда N делится на P.

Доказательство:
➨
Если (x + my) делится на P, то x + my = sP и x = sP – my = sP – (1-kP)y/10 . Тогда
N = 10x+y = 10( sP– (1-kP) y/10 )+y = 10sP–(1–kP)y+y = 10sP+kPy = P(10s+ky) делится на P.
◊

Теорема 1 – очень важна! Положим её в корзинку и продолжим наш путь.
Пусть число m удовлетворяет условию (3) .
Для ряда простых чисел P, зададим значения k и по (3) вычислим m. Вычисления занесём в таблицу 1 :

если (X-29Y) делится на 97, то и N делится на 97.
Пример: N=1261. X=126, Y=1, X-29Y=126-29 · 1=97 — делится на 97, значит и 1261 делится на 97. Действительно, 1261:97=13.

Положим наши находки (признаки делимости) в математическую корзинку.
Вроде бы наша прогулка подошла к концу. Нет и ещё раз нет! Мы подошли к самому интересному! Давайте присядем, передохнём и посмотрим на наши творения.
Внимательно взглянув на таблицу 2 , замечаем: для простых чисел, оканчивающихся на единицу ( P = 11, 31, 41, 61, 71 ), число k одно и то же ( k = 1 ). Что это, случайность? Пока не ясно. Вновь глянем на таблицу 2. А если простые числа кончаются на 3 ( P = 13, 23, 43, 53, 73, 83 ), то число k = -3 . Если же простые числа кончаются на 7 ( P = 17, 37, 47, 67, 97 ), то k = 3 . Наконец, для простых чисел с девяткой в конце ( P = 19, 29, 59, 79, 89 ), число k = -1 .
Пожалуй, это закономерность. Разберёмся в этом подробнее. Продолжим нашу прогулку по математической тропинке.

Для всех P, кончающихся на 1 (P = 11, 31, 41, 61, 71) имеем P = 10n + 1, где n – число десятков.
Если k = 1, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-1(10n+1) )/10 = -n .

И наоборот, если m = -n, то из (2) k = (1-10m)/P = (1-10(-n))/(10n+1) = 1 . Получаем теорему.

ТЕОРЕМА 2 (для P = 11, 31, 41, 61, 71, …):
Пусть P – простое число с цифрой 1 на конце (т.е. P = 10n+1), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — ny) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — ny) делится на P, то x — ny = sP и x = sP + ny. Тогда N = 10x+y = 10( sP+ny)+y = 10sP+10ny+y = 10sP+y(10n+1) = 10sP+yP = P(10s+y) делится на P.
◊

Например, число N = 389 . Зачеркнём последнюю цифру 9 , получим число 38 . Тогда x = 38, y = 9 и 389 = 10 · 38 + 9 .

Предположим (x + my) делится на P. Тогда x + my = sP , отсюда x = sP — my . Выясним, каким должно быть число m, чтобы и N делилось на P. Имеем N = 10x+y = 10(sP-my)+y = 10sP-10my+y = 10sP+y(1-10m). Отсюда ясно, что если

1 — 10m = kP, (2)

Есть особая прелесть в прогулках по летнему лесу. Казалось бы, всё с детства знакомо: каждый листочек, каждая травинка, каждая песчинка, комочек чёрной земли, перепревший прошлогодний листик. Но вдруг, идя по лесной тропинке или продираясь через лесные дебри, встречаешь что-то совсем неожиданное. Вон трудяга-муравей тащит сухую иголку неведомо куда. Отфильтрованный листвой солнечный лучик больно кольнул в глаз. Воздух наполнил лёгкие, чувствуешь неведомые ранее ароматы. Прислушаешься, и в лесных шорохах, вздохах и свистах слышны новые аккорды.

Давайте и мы пройдёмся по знакомой математической тропинке – по ряду натуральных чисел, для начала не превышающих 100. Возьмём с собой математическую корзинку, мы будем складывать в неё самое интересное и нужное. На пути встречаются экзотические числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …, 89, 97. Это простые числа. Они загадочны и таинственны сами по себе. Они хранят в себе много неведомого. Мы приоткроем одну из них. Выясним признаки делимости на все (!) двузначные простые числа.

Пусть N – исходное натуральное число,
x – число N без последней цифры (x – натуральное число),
y – последняя цифра числа N (y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
P – простое число;
m, k, n, s – целые числа.

Тогда N = 10x + y. (1)

Для всех P, кончающихся на 7 (P = 17, 37, 47, 67, 97) имеем P = 10n + 7, где n – число десятков.
Если k = 3, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-3(10n+7) )/10 = (-20-30n)/10 = -(3n + 2).
И наоборот, если m = -(3n+2), то из (2) k = (1-10m)/P = ( 1+10 (3n+2) )/(10n+7) =
= (30n+21)/(10n+7) = 3(10n+7)/(10n+7) = 3. Получаем теорему.

ТЕОРЕМА 4 (для P = 7, 17, 37, 47, 67, 97, …):
Пусть P – простое число с цифрой 7 на конце (т.е. P = 10n+7), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — (3n+2)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — (3n+2)y) делится на P, то x — (3n+2)y = sP и x = sP + (3n+2)y. Тогда N = 10x+y = = 10( sP+ (3n+2)y)+y = 10sP+30ny+20y+y = 10sP+3y(10n+7) = 10sP+3yP = P(10s+3y) делится на P.
◊

Основные признаки делимости

Вам будет интересно ==> С 1 февраля 2023 пенсионеры получат новые квитанци по капиткльному ремонту

Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 без остатка

Признак делимости на 2:если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2. Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2.
Признак делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а)276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б)563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3.
Признак делимости на 4: число делится на 4, если оканчивается на 00, или число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б)8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4.
Признак делимости на 5: если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.а)370 и 1485 делятся без остатка на 5; б)числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся.
Признак делимости на 6: число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а)2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б)3754 не делится на 6, так как 3754 не делится на 3
Признак делимости на 8: число делится на 8, если оканчивается на 000, или число, составленное из трех последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а)78 000 делится на 0, так как оканчивается на 000; б)8422 не делится на 8, так как 422 не делится на 8.
Признак делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а)5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7= 27, а 27 делится на 9; б)359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9.
Признак делимости на 10: если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а)680 делится на 10; б)104 не делится на 10 без остатка.

Приведем разложение к каноническому виду и получим 567 = 3 4 · 7 . Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t 1 и t 2 значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 , вычисляя при этом значения 3 t 1 · 7 t 2 . Результаты будем вносить в таблицу:

В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.

Покажем на примере, как это вычисляется. Определим, сколько будет натуральных делителей у числа 3 900 , которое мы использовали в предыдущей задаче. Каноническое разложение мы уже записывали: 3 900 = 2 2 · 3 · 5 2 · 13 . Значит, s 1 = 2 , s 2 = 1 , s 3 = 2 , s 4 = 1 . Теперь подставим значения s 1 , s 2 , s 3 и s 4 в выражение ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · ( s 3 + 1 ) · ( s 4 + 1 ) и вычислим его значение. Имеем ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) · ( 2 + 1 ) · ( 1 + 1 ) = 3 · 2 · 3 · 2 = 36 . Значит, это число имеет всего 36 делителей, являющихся натуральными числами. Пересчитаем то количество, что у нас получилось в предыдущей задаче, и убедимся в правильности решения. Если учесть и отрицательные делители, которых столько же, сколько и положительных, то получится, что у данного числа всего будет 72 делителя.

Проводим разложение данного числа на простые множители. В каноническом виде оно будет выглядеть как 3 900 = 22 · 3 · 52 · 13 . Теперь приступаем к нахождению положительных делителей, подставляя в выражение 2 t 1 · 3 t 2 · 5 t 3 · 13 t 4 значения t 1 , равные 0 , 1 и 2 , t 2 = 0 , 1 , t 3 = 0 , 1 , 2 , t 4 = 0 , 1 . Результаты представляем в табличном виде:

Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Вам будет интересно ==> Прожиточный минимум в москве в 2023 на ребенка по алиментам

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

1 275 — число 3, так как 1 275 + 3 = 1 278 — делится на 9;
3 333 — число 6, так как 3 333 + 6 = 3 339 — делится на 9;
25 718 — число 4, так как 25 718 + 4 = 25 722 — делится на 9;
987 652 — число 8, так как 987 652 + 8 = 987 660 — делится на 9;
10 203 040 — число 8, так как 10 203 040 + 8 = 10 203 048 — делится на 9;
19 191 919 191 — число 3, так как 19 191 919 191 + 3 = 19 191 919 194 — делится на 9.

Это значит, что произведение будет чётным числом, оканчивающимся на 0.
Кроме того, сумма цифр этого числа будет делиться на 3 и 9, согласно признаку делимости чисел на 3 и на 9.
Отметим, что не все числа, делящиеся на 3, делятся и на 9, но все числа делящиеся на 9 точно делятся на 3. Так что для нас важно, что установить, что произведение будет точно делиться на 9.

3a сольдо за кефир, если он купил 3 пачки кефира по а сольдо за каждую;
45 сольдо за масло;
24b сольдо за хлеб, если он купил b буханок хлеба по 24 сольдо за каждую;
6c сольдо за спички, если он купил 6 коробков по с сольдо за каждый.

95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

Признак делимости на 10n-1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10n — 1.

Возможность расписать доказательство в общем случае мы предоставляем нашим читателям. Подскажем, что все слагаемые в итоговой разности будут иметь вид 9. 9 или 1(00..00)1 — во втором случае внутри скобок записано чётное число нулей. Для доказательства делимости чисел вида 1(00..00)1 на 11 можно прибегнуть к индукции, например.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10n при делении на 11 дают в остатке (-1)n.

Раскладывая числа на простые множители, используют признаки делимости на 2, 3, 5 и др. Напомним один из способов записи разложения чисел на простые множители. Разложим, например, на множители число 90. Число 90 делится на 2. Значит , 2 есть один из простых множителей в разложении числа 90. Разделим 90 на 2. Число 2 запишем справа от знака равенства, а частное 45 — под числом 90. Число 45 делим на простое число 3, получаем 15. Делим 15 на 3, получаем 5. Число 5 — простое, при делении его на 5 получаем 1. Разложение на множители закончено.

В связи с возможностью представлять любое составное число в виде произведения простых множителей возникает необходимость определять, является данное число простым или составным. Эту задачу умели решать еще древнегреческие математики, которым были известны многие свойства простых чисел. Так, Эратосфеном (III в. до н.э.) был придуман способ получения простых чисел, не превышающих натурального числа а. Воспользуемся им для поиска всех простых чисел до 50.

Этим свойством можно пользоваться при проверке правильности найденного наибольшего общего делителя данных чисел. Например, проверим, является ли число 12 наибольшим общим делителем чисел 24 и 36. Для этого, согласно последнему утверждению, разделим 24 и 36 на 12. Получим соответственно числа 2 и 3, которые являются взаимно простыми. Следовательно,

Два разложения числа на простые множители считают одинаковым и, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей. Поэтому представление числа 110 в виде произведения 2∙5∙11 или произведения 5∙2∙11 есть, по существу, одно и то же разложение числа 110 на простые множители.

Те числа, которые останутся после четырех вычеркиваний (исключая числа 2,3,5 и 7), не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. В арифметике доказано, что если натуральное число а, большее единицы, не делится ни на одно из простых чисел, квадрат которых не превосходит о, то а число простое. Поскольку 7 2 = 49, а 49 3 ∙ 3 2 7 ∙ 13; б) 2 2 ∙ 3∙5 3 ?

Таким образом, если A’ делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m) , то A также делится на m (имеет нулевой остаток от деления на m). Мы показали что для определения делимости A можно определить делимость более простого числа A’.

Следовательно число делится на 6 тогда и только тогда, когда учетверённое число десятков, сложенное с числом единиц, делится на 6. То есть из числа отбрасываем правую цифру, далее суммируем полученное число с 4 и добавляем отброшенное число. Если данное число делится на 6, то исходное число делится на 6.

Каждый член правой части (5) делится на m следовательно левая часть уравнения также делится на m. Рассуждая аналогично, получим — правая часть (6) делится на m, следовательно левая часть (6) также делится на m, правая часть (7) делится на m, следовательно левая часть (7) также делится на m. Получили, что правая часть уравнения (4) делится на m. Следовательно A и A’ имеют одинаковый остаток при делении на m. В этом случае говорят, что A и A’ равноостаточные или сравнимыми по модулю m.

Другой признак делимости. Для определения, делится ли число на 7, из числа отбрасываем последнюю с права цифру, далее умножаем полученное число на 3 и добавляем и добавляет отброшенное число. Если данное число делится на 7, то исходное число делится на 6. 380*3+1=1141, 114*3+1=343, 34*3+3=105, 10*3+5=35 делится на 7, следовательно 3801 делится на 7.

06 мая 2023 semeiadvo 129