На Что Делится 47 Без Остатка
Содержание
- На Что Делится 47 Без Остатка
- На Что Делится 47 Без Остатка
- Как узнать, делится ли число без остатка на 7 и 8
- Нахождение всех делителей числа, число делителей числа
- На Что Делится 47 Без Остатка
- Признак делимости на 2, 5, 10
- Признак делимости числа на 6 без остатка: правило и примеры
- Разгадка всё ближе: Кого прячут неонацисты в подвалах; Азовстали
- На Что Делится 47 Без Остатка
- На Что Делится 47 Без Остатка
Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
На Что Делится 47 Без Остатка
Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.
Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .
Допустим, у нас есть выражение, означающее каноническое разложение числа на простые множители, вида a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n . Тогда натуральными делителями числа a будут следующие числа: d = p 1 t 2 · p 2 t 2 · … · p n t n , где t 1 = 0 , 1 , … , s 1 , t 2 = 0 , 1 , … , s 2 , … , t n = 0 , 1 , … , s n .
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Приведем разложение к каноническому виду и получим 567 = 3 4 · 7 . Затем перейдем к вычислению всех натуральных множителей. Для этого будем присваивать t 1 и t 2 значения 0 , 1 , 2 , 3 , 4 и 0 , 1 , вычисляя при этом значения 3 t 1 · 7 t 2 . Результаты будем вносить в таблицу:
На Что Делится 47 Без Остатка
Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.
Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Как узнать, делится ли число без остатка на 7 и 8
Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.
Значит, чтобы узнать, что число делится на 7, нужно от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами исходного, отнять число тысяч. Если полученное число делится на 7, то и исходное будет делиться на 7. Например, 3752. Здесь трехзначное число, образованное последними цифрами — 752, число тысяч — 3. Вычитаем: 752 — 3 = 749. Таким образом, задача свелась к отысканию делимости трехзначного числа 749.
Ну и осталось у нас число 7. Раньше я думал, что для него признак делимости найти невозможно. Но оказалось, это не так. Случайно я заметил, что без остатка на 7 делится число 1001 (1001: 7 = 143). Соответственно, на 7 будут делиться 2002, 3002,7007 , если к какому-либо трехзначному числу, кратному семи, прибавить что-то подобное, то оно тоже будет делиться на 7.
Про признак делимости на 6 в школе не рассказывают. Однако любой ученик с более-менее живым умом легко до него додумается. Поскольку 6 = 2×3, то для того, чтобы число делилось на 6, оно должно одновременно делиться и на 2, и на 3. А признаки делимости на эти числа нам уже известны. Число без остатка делится на 6, если оно четное и если его сумма цифр делится на 3.
Далее. Число без остатка делится на 4, если делится на 4 число из двух последних его цифр. Число 100 делится без остатка на 4, и, следовательно, сколько сотен ни добавляй, оно все равно будет делиться на 4. Если двухзначное число выходит за таблицу умножения, то от него следует отнять 40 и узнать, делится ли полученное число на 4.
Некоторым начинающим математикам сложно определить, какое число делится на 6 без остатка. Для этого требуется понять основное свойство или принцип. Его можно сформулировать следующим образом: если величина делится на шестерку без остатка, то значит она должна быть кратной двойке и тройке.
- Делимое (кратное) — величина, которая делится на некоторое значение.
- Делитель — значение, показывающее, на сколько равных частей требуется разделить искомую величину.
- Частное — результат операции деления, характеризующий количество частей, которые получились.
Следует отметить, что критерий делимости на 6 включает правила, которые касаются 2 и 3. Для двойки критерий делимости звучит следующим образом: число делится на двойку без остатка, когда его последняя цифра эквивалентна множеству четных цифр, а именно: <0,2,4,6,8>. Например, величину 568 можно разделить на двойку без остатка, поскольку последняя ее цифра равна 8, т. е. удовлетворяет искомому множеству.
Следует отметить, что деления обозначается также и двоеточием «:». Однако последнее применяется редко. Кроме того, математики утверждают, что операция считается обратной произведению. Если провести аналогию, то можно сделать такой вывод: частное — результат умножения, I и II сомножители — делитель и частное соответственно.
Для перехода к критерию (признаку) делимости на шесть требуется сначала разобраться в самой сути операции деления. Итак, она может состоять из двух или трех компонентов. В первом случае это обыкновенная дробь, которая включает числитель и знаменатель, разделенные косой чертой «/, т. е. 4/5.
Нахождение всех делителей числа, число делителей числа
Чтобы понять материал, изложенный в данном пункте, нужно хорошо знать, что вообще из себя представляют кратные числа и делители. Здесь мы поговорим только о поиске делителей натуральных чисел, т.е. целых положительных. Этим можно ограничиться, поскольку свойство делимости гласит, что делители целого отрицательного числа аналогичны делителям целого положительного, которое будет противоположным по отношению к этому числу. Также сразу уточним, что у нуля есть бесконечно большое число делителей, и находить их смысла не имеет, поскольку в итоге все равно получится 0 .
Если речь идет о простом числе, то его можно разделить только на единицу и на само себя. Значит, у любого простого числа a есть всего 4 делителя, два из которых больше 0 и два меньше: 1 , — 1 , a , — a . Возьмем простое число 7 : у него есть делители 7 , — 7 , 1 и — 1 , и все. Еще один пример: 367 – тоже простое число, которое можно разделить лишь на 1 , — 1 , 367 и — 367 .
В данной статье мы поговорим о том, как найти все делители числа. Начнем с доказательства теоремы, с помощью которой можно задать вид всех делителей определенного числа. Далее возьмем примеры нахождения всех нужных делителей и покажем, как именно определить, сколько делителей имеет конкретное число. В последнем пункте подробно рассмотрим примеры задач на нахождение общих делителей нескольких чисел.
Поскольку все делители восьмерки будут значениями p 1 t 1 = 2 t 1 , то t 1 может принять значения нуля, единицы, двойки, тройки. 3 будет последним значением, ведь s 1 = 3 . Таким образом, если t 1 = 0 , то 2 t 1 = 2 0 = 1 , если 1 , то 2 t 1 = 2 1 = 2 , если 2 , то 2 t 1 = 2 2 = 4 , а если 3 , то 2 t 1 = 2 3 = 8 .
Чтобы узнать, сколько положительных делителей у конкретного числа a, каноническое разложение которого выглядит как a = p 1 s 1 · p 2 s 2 · … · p n s n , нужно найти значение выражения ( s 1 + 1 ) · ( s 2 + 1 ) · … · ( s n + 1 ) . О количестве наборов переменных t 1 , t 2 , … , t n мы можем судить по величине записанного выражения.
На Что Делится 47 Без Остатка
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.
Сформулируем признак делимости на 7. Число больше трехзначного без остатка делится на 7, если делится на 7 трехзначное число, равное разности между числом, образованным тремя последними цифрами исходного и количеством тысяч в числе. Трехзначное число без остатка делится на 7, если делится на 7 число, равное разности между числом, образованным двумя последними цифрами исходного и количеством сотен в числе, умноженным на 5.
Ну и осталось у нас число 7. Раньше я думал, что для него признак делимости найти невозможно. Но оказалось, это не так. Случайно я заметил, что без остатка на 7 делится число 1001 (1001: 7 = 143). Соответственно, на 7 будут делиться 2002, 3002,7007 , если к какому-либо трехзначному числу, кратному семи, прибавить что-то подобное, то оно тоже будет делиться на 7.
Потом, не помню в каком классе, нам рассказали о некоторых признаках делимости. Давайте вместе вспомним их. (Предупреждение: я не являюсь ни учителем математики, ни аспирантом математических наук, поэтому буду излагать не научно правильно, а как умею. Учителям математики просьба — не придираться по этому поводу).
Поскольку 8 = 2×4, то чтобы число делилось на 8, требуется, чтобы оно делилось и на 4. Это условие необходимое, но не достаточное. Далее можно поступить по аналогии с тысячей. Мы уже выяснили, что 100 не делится на 8 без остатка. Однако число 200 делится — 200: 8 = 25. Таким образом, если в трехзначном числе число из двух последних цифр делится на 8, а первая цифра четная, то и само трехзначное число разделится на 8. Если же первая цифра нечетная, то число из двух последних цифр должно делиться на 4, но не делиться на 8.
Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.
Признак делимости на 2, 5, 10
Наиболее простым и очевидным является признак делимости на 2 — на 2 без остатка делятся все четные числа. В свою очередь, все числа, заканчивающиеся на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8) являются четными. Таким образом, если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 — оно без остатка делится на 2.
- 588 делится без остатка на 4, т.к. 88 делится на 4 без остатка;
- 489022 не делится без остатка на 4, т.к., 22 не делится без остатка на 4;
- 9909080 делится без остатка на 4, т.к. 80 делится без остатка на 4;
- 344503043 не делится без остатка на 4, т.к., это нечетное число.
- 4800039 не делится без остатка на 6, т.к., это нечетное число;
- 4800040 не делится без остатка на 6, т.к., сумма цифр числа =16, а 16 не делится на 3 без остатка;
- 4800042 делится без остатка на 6, т.к., число четное и сумма цифр числа =18, и 18 делится нацело на 3.
Чтобы узнать, делится ли число на 7 нацело, следует многозначное число разбить на две части, отделив три его последние цифры. Из получившихся двух чисел следует от большего отнять меньшее, если полученная разность будет нацело делиться на 7, то и само исходное число будет делиться без остатка на 7.
Признак делимости числа на 6 без остатка: правило и примеры
- Делимое (кратное) — величина, которая делится на некоторое значение.
- Делитель — значение, показывающее, на сколько равных частей требуется разделить искомую величину.
- Частное — результат операции деления, характеризующий количество частей, которые получились.
Следует отметить, что деления обозначается также и двоеточием «:». Однако последнее применяется редко. Кроме того, математики утверждают, что операция считается обратной произведению. Если провести аналогию, то можно сделать такой вывод: частное — результат умножения, I и II сомножители — делитель и частное соответственно.
Для перехода к критерию (признаку) делимости на шесть требуется сначала разобраться в самой сути операции деления. Итак, она может состоять из двух или трех компонентов. В первом случае это обыкновенная дробь, которая включает числитель и знаменатель, разделенные косой чертой «/, т. е. 4/5.
Следует отметить, что критерий делимости на 6 включает правила, которые касаются 2 и 3. Для двойки критерий делимости звучит следующим образом: число делится на двойку без остатка, когда его последняя цифра эквивалентна множеству четных цифр, а именно: <0,2,4,6,8>. Например, величину 568 можно разделить на двойку без остатка, поскольку последняя ее цифра равна 8, т. е. удовлетворяет искомому множеству.
Некоторым начинающим математикам сложно определить, какое число делится на 6 без остатка. Для этого требуется понять основное свойство или принцип. Его можно сформулировать следующим образом: если величина делится на шестерку без остатка, то значит она должна быть кратной двойке и тройке.
Разгадка всё ближе: Кого прячут неонацисты в подвалах; Азовстали
Резюмируя, можно утверждать, что в настоящее время никаких объективных подтверждений истории с запертыми на «Азовстали» офицерами просто нет. Автор данной статьи полагает, что, скорее всего, вся эта история является фейком. Мнение это не обязательно правильное и, возможно, не совпадающее с позицией редакции, однако факт остаётся фактом: в открытом доступе нет ни записей переговоров, ни фотографий тел или документов натовцев. Тему «разгоняют» либо ни за что не отвечающие Telegram-каналы (часть из которых откровенные «сливные бачки»), либо провинциальные борзописцы, для которых фактчекинг – бранное слово английского происхождения.
Кто же такой Герман Владимиров? Он основатель «Музея Боевого братства» в Санкт-Петербурге, создатель нескольких информационных проектов, посвящённых Донбассу, и гуманитарщик. Сейчас он находится в Донбассе с грузом гуманитарной помощи. Что ж, очень достойное и правильное дело в текущей ситуации. Вот только никакие мольбы о спасении натовских офицеров он не перехватывал и никакими доказательствами их наличия на «Азовстали» не располагает, хоть и допускает, что натовцы действительно не успели эвакуироваться из Мариуполя и могут сейчас находиться на территории завода. «Но это моё субъективное мнение», – отмечает Владимиров.
Более того: сама постановка вопроса, что Россия должна и может договариваться о выпуске из зоны боевых действий натовских офицеров – по сути, есть предательство и вредительство. Именно эти офицеры реорганизовали и подготовили украинскую армию к военному столкновению с Россией. Именно они придумали тактику обороны в городах под прикрытием русского населения и подобрали соответствующую номенклатуру вооружений, поставляемых ВСУ. Их нахождение в прифронтовой полосе свидетельствует о том, что они до последнего консультировали Мыкол, как лучше убивать Иванов.
Однако в чём тут проблема? Проблема с «Формозой» – в логике того, как появилась информация о пленении генерала. Нетрудно заметить, что большинство новостей, публикуемых в этом аккаунте, сначала появляются у нас, в русском сегменте интернета, и уже затем перекочёвывают на «Формозу». А история с пленением генерала полностью выбивается из этого ряда.
Гипотетически можно допустить вброс со стороны 72-го центра информационно-психологических операций (ЦИПсО) ВМС Украины. В этом случае история должна быть двухходовкой: на первом этапе вбрасывается приятная русским людям информация, а после того как она широко разойдётся – должно последовать громкое опровержение. Как результат, все, кто предвкушали, что натовцев поведут под камерами с руками за спиной, испытают глубокое разочарование.
Ясно, что слагаемое 10а делится на 2, так как один из множителей этого произведения (10) кратен 2. Поэтому если b четное, то все слагаемые в сумме делятся на 2, следовательно, вся сумма кратна 2. Если же b – нечетная цифра, то получаем сумму, в которой ровно одно слагаемое не делится на 2, а значит, и вся сумма не кратна 2.
Описанные свойства являются основными для делимости. На их основе можно доказать много других утверждений. Например, если а делится на b, то верно и то, что а n делится на b n , где n– произвольное натуральное число. Например, 24 делится на 12, поэтому 24 2 делится на 12 2 :
Доказать это очень просто. Покажем это на примере 3 слагаемых. Пусть а и b кратны с, а d ему не кратно. Тогда сумму а, b и d можно представить так:
А вот количество делителей ограничено. Так, число 15 делится только на 1, 3, 5, 15, а также на –1, –3, –5 и –15. Есть одно исключение – ноль делится на любое целое число (кроме нуля), а потому имеет бесконечное число делителей. Стоит уточнить, что часто под делителями натурального числа понимают только другие натуральные числа, то есть отрицательные делители не учитывают.
Теперь докажем это свойство более строго. Если а делится на b, а b делится нацело на c, то, по определению делимости, должны существовать такие целые m и k, для которых выполняются равенства:
На Что Делится 47 Без Остатка
Деление с остатком. Когда делитель не содержится в делимом ровное число раз, тогда деление не совершается нацело, или деление совершается с остатком. Остаток всегда меньше делителя и делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.
Для частного выбираем такое число, чтобы, умножив делитель на частное, получить делимое. Чтобы найти цифру частного, мы пробуем умножать делитель на разные числа или, как обыкновенно говорят, задаемся разными числами, и сравниваем произвдение делителя на частное с делимым.
Разделяя число 37207 на 47, мы прежде всего определяем, из скольких цифр состоит частное. Частное меньше 1000 и больше 100, ибо 37207 меньше 47000 (47 × 1000) и больше 4700 (47 × 100), следовательно, частное состоит из сотен, десятков и единиц. Начиная с сотен, мы определяем каждую цифру частного отдельно:
Чтобы разделить многозначное число на однозначное или многозначное, нужно отделить в делимом от левой руки к правой столько цифр, сколько их находится в делителе. Если делитель не содержится, отделяют в делимом одной цифрой больше. Разделив отделенное число на делитель, получают первую цифру частного, умножают ей делитель и полученное произведение вычитают из отделенной части делимого.
Разделяя 26 на 8, мы могли вычесть делитель 8 три раза, и у нас получился остаток 2. Число 3 мы будем называть целым частным. Целое частное есть не полное частное, ибо оно не выражает вполне, сколько раз меньшее число содержится в большем. Число 8 не содержится в 26 ровно 3 раза. В этом случае говорят: число 8 содержится в 26 три раза и еще получается остаток. Умножив делитель 8 на целое частное 3, мы не получим делимого 26, а число 24 — меньшее делимого. Чтобы получить делимое, нужно к этому произведению прибавить еще остаток 2.
На Что Делится 47 Без Остатка
Положим в корзинку формулы (1) , (2) и (3) . Они нам пригодятся в дальнейшем.
Начало нашей прогулки очень удачное. Теперь можно сформулировать теорему.
ТЕОРЕМА 1:
Пусть (x + my) делится на P, m = (1-kP)/10 , N = 10x + y. Тогда N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x + my) делится на P, то x + my = sP и x = sP – my = sP – (1-kP)y/10 . Тогда
N = 10x+y = 10( sP– (1-kP) y/10 )+y = 10sP–(1–kP)y+y = 10sP+kPy = P(10s+ky) делится на P.
◊
Теорема 1 – очень важна! Положим её в корзинку и продолжим наш путь.
Пусть число m удовлетворяет условию (3) .
Для ряда простых чисел P, зададим значения k и по (3) вычислим m. Вычисления занесём в таблицу 1 :
если (X-29Y) делится на 97, то и N делится на 97.
Пример: N=1261. X=126, Y=1, X-29Y=126-29 · 1=97 — делится на 97, значит и 1261 делится на 97. Действительно, 1261:97=13.
Положим наши находки (признаки делимости) в математическую корзинку.
Вроде бы наша прогулка подошла к концу. Нет и ещё раз нет! Мы подошли к самому интересному! Давайте присядем, передохнём и посмотрим на наши творения.
Внимательно взглянув на таблицу 2 , замечаем: для простых чисел, оканчивающихся на единицу ( P = 11, 31, 41, 61, 71 ), число k одно и то же ( k = 1 ). Что это, случайность? Пока не ясно. Вновь глянем на таблицу 2. А если простые числа кончаются на 3 ( P = 13, 23, 43, 53, 73, 83 ), то число k = -3 . Если же простые числа кончаются на 7 ( P = 17, 37, 47, 67, 97 ), то k = 3 . Наконец, для простых чисел с девяткой в конце ( P = 19, 29, 59, 79, 89 ), число k = -1 .
Пожалуй, это закономерность. Разберёмся в этом подробнее. Продолжим нашу прогулку по математической тропинке.
Для всех P, кончающихся на 1 (P = 11, 31, 41, 61, 71) имеем P = 10n + 1, где n – число десятков.
Если k = 1, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-1(10n+1) )/10 = -n .
И наоборот, если m = -n, то из (2) k = (1-10m)/P = (1-10(-n))/(10n+1) = 1 . Получаем теорему.
ТЕОРЕМА 2 (для P = 11, 31, 41, 61, 71, …):
Пусть P – простое число с цифрой 1 на конце (т.е. P = 10n+1), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — ny) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — ny) делится на P, то x — ny = sP и x = sP + ny. Тогда N = 10x+y = 10( sP+ny)+y = 10sP+10ny+y = 10sP+y(10n+1) = 10sP+yP = P(10s+y) делится на P.
◊
Например, число N = 389 . Зачеркнём последнюю цифру 9 , получим число 38 . Тогда x = 38, y = 9 и 389 = 10 · 38 + 9 .
Предположим (x + my) делится на P. Тогда x + my = sP , отсюда x = sP — my . Выясним, каким должно быть число m, чтобы и N делилось на P. Имеем N = 10x+y = 10(sP-my)+y = 10sP-10my+y = 10sP+y(1-10m). Отсюда ясно, что если
1 — 10m = kP, (2)
ТЕОРЕМА 3 (для P = 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, …):
Пусть P – простое число с цифрой 3 на конце (т.е. P = 10n+3), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x + (3n+1)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x + (3n+1)y) делится на P, то x + (3n+1)y = sP и x = sP — (3n+1)y. Тогда N = 10x+y = 10( sP- (3n+1)y)+y = 10sP-30ny-10y+y = 10sP-3y(10n+3) = 10sP-3yP = P(10s-3y) делится на P.
◊
Есть особая прелесть в прогулках по летнему лесу. Казалось бы, всё с детства знакомо: каждый листочек, каждая травинка, каждая песчинка, комочек чёрной земли, перепревший прошлогодний листик. Но вдруг, идя по лесной тропинке или продираясь через лесные дебри, встречаешь что-то совсем неожиданное. Вон трудяга-муравей тащит сухую иголку неведомо куда. Отфильтрованный листвой солнечный лучик больно кольнул в глаз. Воздух наполнил лёгкие, чувствуешь неведомые ранее ароматы. Прислушаешься, и в лесных шорохах, вздохах и свистах слышны новые аккорды.
Давайте и мы пройдёмся по знакомой математической тропинке – по ряду натуральных чисел, для начала не превышающих 100. Возьмём с собой математическую корзинку, мы будем складывать в неё самое интересное и нужное. На пути встречаются экзотические числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …, 89, 97. Это простые числа. Они загадочны и таинственны сами по себе. Они хранят в себе много неведомого. Мы приоткроем одну из них. Выясним признаки делимости на все (!) двузначные простые числа.
Пусть N – исходное натуральное число,
x – число N без последней цифры (x – натуральное число),
y – последняя цифра числа N (y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
P – простое число;
m, k, n, s – целые числа.
Тогда N = 10x + y. (1)
31 мая 2023 semeiadvo 61