Главная / Налоговое право / На Сколько Делится Число 47

На Сколько Делится Число 47

Содержание

Деление чисел столбиком
Деление чисел столбиком
На Сколько Делится Число 47
Признаки делимости на 15: как найти, примеры и задачи с решением
На Сколько Делится Число 47
Признак делимости числа на 6 без остатка: правило и примеры
На Сколько Делится Число 47
Число простых делителей числа
Мерзляк 6 класс; § 3

Деление чисел столбиком

Онлайн-калькулятор «Деление чисел столбиком«. Наш калькулятор позволяет делить любые натуральные числа столбиком. Введите два числа (делимое и делитель) и нажмите кнопку «Вычислить». Подробное решение, которое выдает калькулятор, поможет вам разобраться, как правильно делить числа столбиком.

Деление столбиком (или деление в столбик) – метод предназначенный для деления чисел, посредством разложения процедуры деления на ряд простых действий. Число, которое делится, называется делимое. Число, на которое производится деление, называется делитель. Полученный результат от деления называется частным.

Деление чисел столбиком

На Сколько Делится Число 47

Признак делимости на 10 n +1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их n-числами. Эта сумма делится на 10 n + 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n + 1.

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Признак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Как определить делится ли число на 4 : две последние цифры в числе должны делиться на 4 ( 00 принимается за 100 ). Пример: 87524 делится на 4 , так как последние цифры 24 делятся 4; 6500 делится на 4 , так как последние цифры – 00 , а 100 делится на 4; 59431 не делится на 4 , так как 31 не делится на 4 без остатка.

Как определить делится ли число на 6 : число должно делится одновременно на 2 и на 3 , согласно вышеописанным признакам. Пример: 81 не делится на 6 , так как оно делится на 3 , но не делится на 2; 100 не делится на 6 , так как оно делится на 2 , но не делится на 3; 72 делится на 6 , так как оно делится и на 2 , и на 3 .

Для всех P, кончающихся на 7 (P = 17, 37, 47, 67, 97) имеем P = 10n + 7, где n – число десятков.
Если k = 3, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-3(10n+7) )/10 = (-20-30n)/10 = -(3n + 2).
И наоборот, если m = -(3n+2), то из (2) k = (1-10m)/P = ( 1+10 (3n+2) )/(10n+7) =
= (30n+21)/(10n+7) = 3(10n+7)/(10n+7) = 3. Получаем теорему.

ТЕОРЕМА 4 (для P = 7, 17, 37, 47, 67, 97, …):
Пусть P – простое число с цифрой 7 на конце (т.е. P = 10n+7), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — (3n+2)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — (3n+2)y) делится на P, то x — (3n+2)y = sP и x = sP + (3n+2)y. Тогда N = 10x+y = = 10( sP+ (3n+2)y)+y = 10sP+30ny+20y+y = 10sP+3y(10n+7) = 10sP+3yP = P(10s+3y) делится на P.
◊

Например, число N = 389 . Зачеркнём последнюю цифру 9 , получим число 38 . Тогда x = 38, y = 9 и 389 = 10 · 38 + 9 .

Предположим (x + my) делится на P. Тогда x + my = sP , отсюда x = sP — my . Выясним, каким должно быть число m, чтобы и N делилось на P. Имеем N = 10x+y = 10(sP-my)+y = 10sP-10my+y = 10sP+y(1-10m). Отсюда ясно, что если

1 — 10m = kP, (2)

ТЕОРЕМА 3 (для P = 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, …):
Пусть P – простое число с цифрой 3 на конце (т.е. P = 10n+3), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x + (3n+1)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x + (3n+1)y) делится на P, то x + (3n+1)y = sP и x = sP — (3n+1)y. Тогда N = 10x+y = 10( sP- (3n+1)y)+y = 10sP-30ny-10y+y = 10sP-3y(10n+3) = 10sP-3yP = P(10s-3y) делится на P.
◊

если (X-29Y) делится на 97, то и N делится на 97.
Пример: N=1261. X=126, Y=1, X-29Y=126-29 · 1=97 — делится на 97, значит и 1261 делится на 97. Действительно, 1261:97=13.

Положим наши находки (признаки делимости) в математическую корзинку.
Вроде бы наша прогулка подошла к концу. Нет и ещё раз нет! Мы подошли к самому интересному! Давайте присядем, передохнём и посмотрим на наши творения.
Внимательно взглянув на таблицу 2 , замечаем: для простых чисел, оканчивающихся на единицу ( P = 11, 31, 41, 61, 71 ), число k одно и то же ( k = 1 ). Что это, случайность? Пока не ясно. Вновь глянем на таблицу 2. А если простые числа кончаются на 3 ( P = 13, 23, 43, 53, 73, 83 ), то число k = -3 . Если же простые числа кончаются на 7 ( P = 17, 37, 47, 67, 97 ), то k = 3 . Наконец, для простых чисел с девяткой в конце ( P = 19, 29, 59, 79, 89 ), число k = -1 .
Пожалуй, это закономерность. Разберёмся в этом подробнее. Продолжим нашу прогулку по математической тропинке.

Для всех P, кончающихся на 1 (P = 11, 31, 41, 61, 71) имеем P = 10n + 1, где n – число десятков.
Если k = 1, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-1(10n+1) )/10 = -n .

И наоборот, если m = -n, то из (2) k = (1-10m)/P = (1-10(-n))/(10n+1) = 1 . Получаем теорему.

ТЕОРЕМА 2 (для P = 11, 31, 41, 61, 71, …):
Пусть P – простое число с цифрой 1 на конце (т.е. P = 10n+1), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — ny) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — ny) делится на P, то x — ny = sP и x = sP + ny. Тогда N = 10x+y = 10( sP+ny)+y = 10sP+10ny+y = 10sP+y(10n+1) = 10sP+yP = P(10s+y) делится на P.
◊

Есть особая прелесть в прогулках по летнему лесу. Казалось бы, всё с детства знакомо: каждый листочек, каждая травинка, каждая песчинка, комочек чёрной земли, перепревший прошлогодний листик. Но вдруг, идя по лесной тропинке или продираясь через лесные дебри, встречаешь что-то совсем неожиданное. Вон трудяга-муравей тащит сухую иголку неведомо куда. Отфильтрованный листвой солнечный лучик больно кольнул в глаз. Воздух наполнил лёгкие, чувствуешь неведомые ранее ароматы. Прислушаешься, и в лесных шорохах, вздохах и свистах слышны новые аккорды.

Давайте и мы пройдёмся по знакомой математической тропинке – по ряду натуральных чисел, для начала не превышающих 100. Возьмём с собой математическую корзинку, мы будем складывать в неё самое интересное и нужное. На пути встречаются экзотические числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …, 89, 97. Это простые числа. Они загадочны и таинственны сами по себе. Они хранят в себе много неведомого. Мы приоткроем одну из них. Выясним признаки делимости на все (!) двузначные простые числа.

Пусть N – исходное натуральное число,
x – число N без последней цифры (x – натуральное число),
y – последняя цифра числа N (y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
P – простое число;
m, k, n, s – целые числа.

Вам будет интересно ==> Вопросы Землеустроительной Экспертизе

Тогда N = 10x + y. (1)

Признаки делимости на 15: как найти, примеры и задачи с решением

Если число не является простым, то его можно разложить на множители. Например, 33 – это произведение 3 и 11, а 45 – 9 и 5. Существует свойство, согласно которому число делится на данное без остатка в случае, если его можно разделить и на тот, и на другой множитель. Это значит, что любое большое число можно представить в виде простых, и уже исходя из них, формулировать признак делимости.

Признак делимости чисел на 15 очень часто нужен для решения контрольных и экзаменационных заданий. Например, зачастую в базовом уровне ЕГЭ по математике встречаются задачи, основанные на понимании именно этой темы. Рассмотрим некоторые их решения на практике.

Итак, нам нужно узнать, можно ли разделить данное число на 15. Для этого рассмотрим его подробнее. Число 15 можно представить, как произведение 3 и 5. Значит, чтобы число делилось на 15, оно должно быть кратно одновременно 3 и 5. Это и есть признак делимости на 15. В дальнейшем мы рассмотрим его подробнее и сформулируем точнее.

Зачастую при решении задач нужно узнать, делится ли то или иное число на заданную цифру без остатка. Но каждый раз делить его очень долго. К тому же велика вероятность допустить ошибку в расчетах и уйти от правильного ответа. Для того чтобы избежать этой проблемы, были найдены признаки делимости на основные простые или однозначные числа: 2, 3, 9, 11. Но что делать, если нужно произвести деление на другую, большую цифру? Например, как рассчитать признак делимости на 15? Ответ на этот вопрос мы постараемся найти в данной статье.

Итак, теперь мы можем полноценно сформулировать признак делимости на 15: число делится на 15 тогда, когда сумма его цифр кратна 3, а последней цифрой является или 5, или 0. Важно отметить, что оба этих условия должны выполняться одновременно. Иначе мы получим число кратное не 15, а только 3 или 5.

На Сколько Делится Число 47

Положим в корзинку формулы (1) , (2) и (3) . Они нам пригодятся в дальнейшем.
Начало нашей прогулки очень удачное. Теперь можно сформулировать теорему.

ТЕОРЕМА 1:
Пусть (x + my) делится на P, m = (1-kP)/10 , N = 10x + y. Тогда N делится на P.

Доказательство:
➨
Если (x + my) делится на P, то x + my = sP и x = sP – my = sP – (1-kP)y/10 . Тогда
N = 10x+y = 10( sP– (1-kP) y/10 )+y = 10sP–(1–kP)y+y = 10sP+kPy = P(10s+ky) делится на P.
◊

Теорема 1 – очень важна! Положим её в корзинку и продолжим наш путь.
Пусть число m удовлетворяет условию (3) .
Для ряда простых чисел P, зададим значения k и по (3) вычислим m. Вычисления занесём в таблицу 1 :

Тогда N = 10x + y. (1)

Например, число N = 389 . Зачеркнём последнюю цифру 9 , получим число 38 . Тогда x = 38, y = 9 и 389 = 10 · 38 + 9 .

1 — 10m = kP, (2)

И наоборот, если m = -n, то из (2) k = (1-10m)/P = (1-10(-n))/(10n+1) = 1 . Получаем теорему.

Этот признак делимости более сложный: число делится на 7, если результат вычитания удвоенной последней цифры из числа десятков этого числа делится на 7 или равен 0.
Звучит довольно запутанно, но на практике просто. Смотрите сами: число 959 делится на 7, потому что 95-2*9=95-18=77, 77:7=11 (77 делится на 7 без остатка). Причем если с полученным во время преобразований числом возникли сложности (из-за его размера сложно понять, делится оно на 7 или нет, то данную процедуру можно продолжать столько раз, сколько Вы сочтете нужным).
Например, 455 и 45801 обладают признаками делимости на 7. В первом случае все довольно просто: 45-2*5=45-10=35, 35:7=5. Во втором случае мы поступим так: 4580-2*1=4580-2=4578. Нам сложно понять, делится ли 4578 на 7, поэтому повторим процесс: 457-2*8=457-16=441. И опять воспользуемся признаком делимости, так как перед нами пока еще трехзначное число 441. Итак, 44-2*1=44-2=42, 42:7=6, т.е. 42 делится на 7 без остатка, а значит и 45801 делится на 7.
А вот числа 111 и 345 не делятся на 7, потому что 11-2*1=11-2=9 (9 не делится без остатка на 7) и 34-2*5=34-10=24 (24 не делится без остатка на 7).

Этот признак делимости будет посложнее. Если последние 2 цифры числа образуют число, делящееся на 4 или это 00, то и число делится на 4, в противном случае данное число не делится на 4 без остатка.
Например: 100 и 364 делятся на 4, потому что в первом случае число оканчивается на 00, а во втором на 64, которое в свою очередь делится на 4 без остатка (64:4=16)
Числа 357 и 886 не делятся на 4, потому что ни 57 ни 86 на 4 не делятся, а значит не соответствуют данному признаку делимости.

Вам будет интересно ==> Какие Ыплаты Положены На Алименты С Мвд

Перед нами составное число 6, которое является произведением чисел 2 и 3. Поэтому признак делимости на 6 тоже является составным: для того, чтобы число делилось на 6, оно должно соответствовать двум признакам делимости одновременно: признаку делимости на 2 и признаку делимости на 3. При этом обратите внимание, что такое составное число как 4 имеет индивидуальный признак делимости, ведь оно является призведением числа 2 на само себя. Но вернемся к признаку делимости на 6.
Числа 138 и 474 чётные и отвечают признакам делимости на 3 (1+3+8=12, 12:3=4 и 4+7+4=15, 15:3=5), а значит они делятся на 6. Зато 123 и 447 хоть и делятся на 3 (1+2+3=6, 6:3=2 и 4+4+7=15, 15:3=5), но они нечётные, а значит не соответсвуют признаку делимости на 2, а следовательно и не соответсвуют признаку делимости на 6.

Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000, у второго 88:8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.

Признаки делимости чисел– это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка.
Некоторые из признаков делимости довольно просты, некоторые сложнее. На этой странице Вы найдете как признаки делимости простых чисел, таких как, например, 2, 3, 5, 7, 11, так и признаки делимости составных чисел, таких, как 6 или 12.
Надеюсь, данная информация будет Вам полезной.
Приятного обучения!

Всякий раз, когда приходится делить, нужно задаваться в частном такою цифрой, чтобы остаток был меньше делителя. Чтобы легче найти такую цифру частного, при делении многозначного числа на многозначное обращают внимание на одну или две старшие цифры делителя и задаются только ими в соответствующей части делимого. При этом в делимом и в делителе отделяют от правой руки к левой одинаковое число цифр. Так, определяя, сколько раз содержится 6373 в 27302, мы задаемся четырьмя, ибо 6 в 27 содержится 4 раза.

Разделяя число на 10, мы десятки делимого обращаем в единицы, сотни в десятки, тысячи в сотни, вообще понижаем на единицу все порядки делимого. Этого мы достигаем, отделяя запятою цифру единиц. Число до запятой будет выражать частное, а после запятой — остаток.

Отыскиваем сотни частного. Цифра сотен частного может происходить от деления сотен делимого на делитель 3. Десятки и единицы делимого не имеют никакого влияния на сотни частного, поэтому на них пока не обращаем внимания. Наибольшее число сотен в частном есть 2, ибо 3 содержится в 7 сотнях 2 сотни раз; пишем в частном 200. Умножая 200 на 3 и вычитая произведение 600 из делимого, получаем первый остаток 132.

Отделяем в делимом от левой руки к правой столько цифр, чтобы делитель мог содержаться в отделенной части делимого. В данном случае отделяем 3 цифры, 47 содержится в 372 семь раз; умножаем делитель 47 на 7, цифру частного, и, вычитая произведение 47 × 7 = 329 из 372, получаем в остатке 43.

Деление с остатком. Когда делитель не содержится в делимом ровное число раз, тогда деление не совершается нацело, или деление совершается с остатком. Остаток всегда меньше делителя и делимое равно произведению делителя на целое частное, сложенное с остатком.

Признак делимости числа на 6 без остатка: правило и примеры

Делимое (кратное) — величина, которая делится на некоторое значение.
Делитель — значение, показывающее, на сколько равных частей требуется разделить искомую величину.
Частное — результат операции деления, характеризующий количество частей, которые получились.

Некоторым начинающим математикам сложно определить, какое число делится на 6 без остатка. Для этого требуется понять основное свойство или принцип. Его можно сформулировать следующим образом: если величина делится на шестерку без остатка, то значит она должна быть кратной двойке и тройке.

Следует отметить, что критерий делимости на 6 включает правила, которые касаются 2 и 3. Для двойки критерий делимости звучит следующим образом: число делится на двойку без остатка, когда его последняя цифра эквивалентна множеству четных цифр, а именно: <0,2,4,6,8>. Например, величину 568 можно разделить на двойку без остатка, поскольку последняя ее цифра равна 8, т. е. удовлетворяет искомому множеству.

Для перехода к критерию (признаку) делимости на шесть требуется сначала разобраться в самой сути операции деления. Итак, она может состоять из двух или трех компонентов. В первом случае это обыкновенная дробь, которая включает числитель и знаменатель, разделенные косой чертой «/, т. е. 4/5.

Следует отметить, что деления обозначается также и двоеточием «:». Однако последнее применяется редко. Кроме того, математики утверждают, что операция считается обратной произведению. Если провести аналогию, то можно сделать такой вывод: частное — результат умножения, I и II сомножители — делитель и частное соответственно.

На Сколько Делится Число 47

Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .

Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)

Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.

Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).

Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.

Рассмотрим другой пример составного делителя: число делится нацело на 18, если оно делится нацело на 2 и 9. В данном случае нельзя раскладывать 18 на 3 и 6, поскольку они не являются взаимно простыми, так как имеют общий делитель 3. Убедимся в этом на примере.

Признак делимости числа на «2» Число делится нацело на 2, если число является четным (последняя цифра равна 0, 2, 4, 6 или 8)
Пример: Число 1256 кратно 2, поскольку оно заканчивается на 6. А число 49603 не делится нацело на 2, поскольку оно заканчивается на 3.
Признак делимости числа на «3» Число делится нацело на 3, если сумма его цифр делится на 3
Пример: Число 4761 делится на 3 нацело, поскольку сумма его цифр равна 18 и она делится на 3. А число 143 не кратно 3, поскольку сумма его цифр равна 8 и она не делится на 3.
Признак делимости числа на «4» Число делится нацело на 4, если последние две цифры числа равны нулю или число, составленное из двух последних цифр, делится на 4
Пример: Число 2344 кратно 4, поскольку 44 / 4 = 11. А число 3951 не делится нацело на 4, поскольку 51 на 4 не делится.
Признак делимости числа на «5» Число делится нацело на 5, если последняя цифра числа равна 0 или 5
Пример: Число 5830 делится нацело на 5, поскольку оно заканчивается на 0. А число 4921 не делится на 5 нацело, поскольку оно заканчивается на 1.
Признак делимости числа на «6» Число делится нацело на 6, если оно делится нацело на 2 и на 3
Пример: Число 3504 кратно 6, поскольку оно заканчивается на 4 (признак делимости на 2) и сумма цифр числа равна 12 и она делится на 3 (признак делимости на 3). А число 5432 на 6 нацело не делится, хотя число заканчивается на 2 (соблюдается признак делимости на 2), однако сумма цифр равна 14 и она не делится на 3 нацело.
Признак делимости числа на «8» Число делится нацело на 8, если три последние цифры числа равны нулю или число, составленное из трех последних цифр числа, делится на 8
Пример: Число 93112 делится нацело на 8, поскольку число 112 / 8 = 14. А число 9212 не кратно 8, поскольку 212 не делится на 8.

Признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11, 25 и другие числа полезно знать для быстрого решения задач на Цифровую запись числа. Вместо того, чтобы делить одно число на другое, достаточно проверить ряд признаков, на основании которых можно однозначно определить, делится ли одно число на другое нацело (кратно ли оно) или нет.

Чтобы узнать, делится ли заданное число на составное, нужно разложить это составное число на взаимно простые множители, признаки делимости которых известны. Взаимно простые числа — это числа, не имеющие общих делителей кроме 1. Например, число делится нацело на 15, если оно делится нацело на 3 и на 5.

Число 456 делится на 3, так как сумма его цифр равна 15, и делится на 6, так как оно делится и на 3 и на 2. Но если разделить 456 на 18 вручную, то получится остаток. Если же для числа 456 проверять признаки делимости на 2 и 9, сразу же видно, что оно делится на 2, но не делится на 9, так как сумма цифр числа равна 15 и она не делится на 9.

Число простых делителей числа

Достоверно известно, что серьезным изучением свойств простых чисел первыми стали заниматься древние греки. Однако об их существовании было известно за несколько тысячелетий до того, как Аристотель включил теоремы об их свойствах в свои знаменитые “Начала”. Древние греки придумали и решето Эратосфена, представляющее собой алгоритм нахождения простых чисел из промежутка [1,n].

Если можно сразу же назвать простые делители числа 4, то для больших чисел сделать это обычно достаточно затруднительно. О решении этой проблемы люди стали задумываться еще несколько тысячелетий назад. В частности, древнегреческий математик Эратосфен, живший на стыке третьего и второго веков до Рождества Христова придумал алгоритм нахождения всех простых чисел, меньших целого числа n.

Кроме того, уже известную вам основную теорему арифметики можно перефразировать следующим образом: любое каноническое разложение n можно считать тождественным, если не обращать внимания на порядок делителей. Это значит, что на практике для значительной части чисел существует множество достаточно простых алгоритмов их разложения на простые множители, которые в итоге дают один и тот же результат.

В 17 веке прорыв в их изучении сделали Пьер Ферма и Марен Мерсенн. Первый сформулировал теорему, впоследствии названную его именем, согласно которой все числа вида 2 2n — простые, доказав ее для n =1..4. Однако впоследствии Леонардом Эйлером было показано, что при n=5 получается составное число. Параллельно с этим Марен Мерсенн выделил простые числа вида 2 p — 1, в которых p – простое. Они интересны тем, что для них легко проверить соответствие критерию простоты. Учитывая этот факт, числа Мерсенна используют для выявления сверхбольших простых чисел. На данный момент предельное из известных выглядит как 2 77232917 − 1 .

Как не странно, задача нахождения всех простых множителей числа является достаточно сложной. Дело в том, что до сих пор мы рассматривали только числа, десятичная запись которых состояла из одного-четырех знаков. Для них все вычисления выполняются в несколько шагов и их вполне можно осилить, имея под рукой лишь ручку и лист бумаги. По-другому обстоит дело, когда речь идет о, например, 1000-значном числе. Чтобы найти все его простые множители потребуется больше миллиарда лет, если даже будет задействован самый мощный суперкомпьютер в мире.

Поскольку 8 = 2×4, то чтобы число делилось на 8, требуется, чтобы оно делилось и на 4. Это условие необходимое, но не достаточное. Далее можно поступить по аналогии с тысячей. Мы уже выяснили, что 100 не делится на 8 без остатка. Однако число 200 делится — 200: 8 = 25. Таким образом, если в трехзначном числе число из двух последних цифр делится на 8, а первая цифра четная, то и само трехзначное число разделится на 8. Если же первая цифра нечетная, то число из двух последних цифр должно делиться на 4, но не делиться на 8.

Сформулируем признак делимости на 7. Число больше трехзначного без остатка делится на 7, если делится на 7 трехзначное число, равное разности между числом, образованным тремя последними цифрами исходного и количеством тысяч в числе. Трехзначное число без остатка делится на 7, если делится на 7 число, равное разности между числом, образованным двумя последними цифрами исходного и количеством сотен в числе, умноженным на 5.

Значит, чтобы узнать, что число делится на 7, нужно от трехзначного числа, образованного тремя последними цифрами исходного, отнять число тысяч. Если полученное число делится на 7, то и исходное будет делиться на 7. Например, 3752. Здесь трехзначное число, образованное последними цифрами — 752, число тысяч — 3. Вычитаем: 752 — 3 = 749. Таким образом, задача свелась к отысканию делимости трехзначного числа 749.

Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.

Когда я учился в школе и решал задачки по математике, очень часто хотелось узнать, делится одно число на другое (предполагается, что делитель меньше 10) или нет без остатка. Обычно при решении таких примеров учителя запрещали пользоваться калькулятором, а вычисления в «столбик» были относительно длительны. Я нередко ошибался и получал несуразные результаты. А знание того, что число заведомо разделится без остатка, было бы здесь совсем не лишним.

Мерзляк 6 класс; § 3

1 275 — число 3, так как 1 275 + 3 = 1 278 — делится на 9;
3 333 — число 6, так как 3 333 + 6 = 3 339 — делится на 9;
25 718 — число 4, так как 25 718 + 4 = 25 722 — делится на 9;
987 652 — число 8, так как 987 652 + 8 = 987 660 — делится на 9;
10 203 040 — число 8, так как 10 203 040 + 8 = 10 203 048 — делится на 9;
19 191 919 191 — число 3, так как 19 191 919 191 + 3 = 19 191 919 194 — делится на 9.

Чтобы число делилось нацело на 9, надо чтобы сумма его цифр делилась на 9.
Мы знаем, что в числе 3 * 4* уже есть цифры 3 и 4. Сумма этих цифр равна 3 + 4 = 7.
Значит сумма оставшихся цифр может быть равна 2 либо 11.
Подойдут следующие варианты:
- 3 042, 3 141, 3 240 — в которых сумма дописанных цифр равна 2, а общая сумма чисел равна 9;
- 3 249, 3 348, 3 447, 3 546, 3 645, 3 744, 3 843, 3 942 — в которых сумма дописанных цифр равна 11, а их общая сумма равна 18.

В числе 285 сумма цифр равна 2 + 8 + 5 = 15 — делиться на 3. Значит и само число должно делиться на 3. Действительно, 285 : 3 = 95 — число делится на 3 нацело.
В числе 460 сумма цифр равна 4 + 6 + 0 = 10 — не делится на 3. Значит и само число не должно делиться на 3. Действительно, 460 : 3 = 153 (ост. 1).

95. Рома и Дима записывают девятнадцатизначное число, используя только цифры 1, 2 и 4. Первую цифру пишет Рома, вторую — Дима, третью — снова Рома и так далее по очереди. Рома хочет получить в результате число, кратное 3. Может ли Дима помешать ему это сделать?

103. В чемпионате страны по футболу принимают участие 16 команд, каждая из которых имеет свой стадион. Все команды должны сыграть между собой, причём в каждом туре проводятся 8 игр. Можно ли составить расписание туров так, чтобы каждая команда по очереди играла на своём стадионе и на стадионе соперника?

04 Июн 2023 semeiadvo 103