На Что Делится 47 И 7
Содержание
Нахождение НОД и НОК чисел
Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.
На Что Делится 47 И 7
Например, число N = 389 . Зачеркнём последнюю цифру 9 , получим число 38 . Тогда x = 38, y = 9 и 389 = 10 · 38 + 9 .
Предположим (x + my) делится на P. Тогда x + my = sP , отсюда x = sP — my . Выясним, каким должно быть число m, чтобы и N делилось на P. Имеем N = 10x+y = 10(sP-my)+y = 10sP-10my+y = 10sP+y(1-10m). Отсюда ясно, что если
1 — 10m = kP, (2)
Есть особая прелесть в прогулках по летнему лесу. Казалось бы, всё с детства знакомо: каждый листочек, каждая травинка, каждая песчинка, комочек чёрной земли, перепревший прошлогодний листик. Но вдруг, идя по лесной тропинке или продираясь через лесные дебри, встречаешь что-то совсем неожиданное. Вон трудяга-муравей тащит сухую иголку неведомо куда. Отфильтрованный листвой солнечный лучик больно кольнул в глаз. Воздух наполнил лёгкие, чувствуешь неведомые ранее ароматы. Прислушаешься, и в лесных шорохах, вздохах и свистах слышны новые аккорды.
Давайте и мы пройдёмся по знакомой математической тропинке – по ряду натуральных чисел, для начала не превышающих 100. Возьмём с собой математическую корзинку, мы будем складывать в неё самое интересное и нужное. На пути встречаются экзотические числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, …, 89, 97. Это простые числа. Они загадочны и таинственны сами по себе. Они хранят в себе много неведомого. Мы приоткроем одну из них. Выясним признаки делимости на все (!) двузначные простые числа.
Пусть N – исходное натуральное число,
x – число N без последней цифры (x – натуральное число),
y – последняя цифра числа N (y = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9),
P – простое число;
m, k, n, s – целые числа.
Тогда N = 10x + y. (1)
Положим в корзинку формулы (1) , (2) и (3) . Они нам пригодятся в дальнейшем.
Начало нашей прогулки очень удачное. Теперь можно сформулировать теорему.
ТЕОРЕМА 1:
Пусть (x + my) делится на P, m = (1-kP)/10 , N = 10x + y. Тогда N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x + my) делится на P, то x + my = sP и x = sP – my = sP – (1-kP)y/10 . Тогда
N = 10x+y = 10( sP– (1-kP) y/10 )+y = 10sP–(1–kP)y+y = 10sP+kPy = P(10s+ky) делится на P.
◊
Теорема 1 – очень важна! Положим её в корзинку и продолжим наш путь.
Пусть число m удовлетворяет условию (3) .
Для ряда простых чисел P, зададим значения k и по (3) вычислим m. Вычисления занесём в таблицу 1 :
ТЕОРЕМА 3 (для P = 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83, …):
Пусть P – простое число с цифрой 3 на конце (т.е. P = 10n+3), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x + (3n+1)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x + (3n+1)y) делится на P, то x + (3n+1)y = sP и x = sP — (3n+1)y. Тогда N = 10x+y = 10( sP- (3n+1)y)+y = 10sP-30ny-10y+y = 10sP-3y(10n+3) = 10sP-3yP = P(10s-3y) делится на P.
◊
Для всех P, кончающихся на 7 (P = 17, 37, 47, 67, 97) имеем P = 10n + 7, где n – число десятков.
Если k = 3, то из (3) имеем m = (1-kP)/10 = ( 1-3(10n+7) )/10 = (-20-30n)/10 = -(3n + 2).
И наоборот, если m = -(3n+2), то из (2) k = (1-10m)/P = ( 1+10 (3n+2) )/(10n+7) =
= (30n+21)/(10n+7) = 3(10n+7)/(10n+7) = 3. Получаем теорему.
ТЕОРЕМА 4 (для P = 7, 17, 37, 47, 67, 97, …):
Пусть P – простое число с цифрой 7 на конце (т.е. P = 10n+7), n – число десятков числа P, N = 10x + y. Тогда если (x — (3n+2)y) делится на P, то и N делится на P.
Доказательство:
➨
Если (x — (3n+2)y) делится на P, то x — (3n+2)y = sP и x = sP + (3n+2)y. Тогда N = 10x+y = = 10( sP+ (3n+2)y)+y = 10sP+30ny+20y+y = 10sP+3y(10n+7) = 10sP+3yP = P(10s+3y) делится на P.
◊
На Что Делится 47 И 7
В школе сейчас проходят простые числа и делители, пытался объяснить тему по определению того, простое число или нет, для помощи в определении очень подходят признаки делимости на небольшие числа. Признак делимости на 2 знают все, на 3 — уже сложнее, на 5 — элементарно, на 9 — аналогично 3, на 11 тоже вспомнил, но вот коварной оказалась семерка, из школьного курса я признака делимости не смог вспомнить, поэтому попробовал сформулировать свой, вроде получилось, но как-то криво. Поэтому полез в интернет посмотреть, какие там велосипеды изобрели до меня. Но оказалось, что там изобрели еще более замороченную хрень:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).
Есть и другой признак, из Википедии:
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7.
Тоже неплохо, да?
А теперь мой признак делимости.
Число делится на 7, если разность числа и приведенной суммы его цифр делится на 9.
Что такое приведенная сумма цифр — не могу найти научное название, но это сумма цифр, которая не может быть больше 9. То есть, для числа 148 сумма цифра = 1 + 4 + 8 = 13, а приведенная сумма цифр — 1 + 3 = 4, так как 13 больше 9.
Признак же делимости на 9 достаточно прост — сумма цифр должна делиться на 9. Итого считаем приведенную сумму цифр, разность и новую сумму цифр — и все.
Пример: 1778 (254*7). Приведенная сумма цифр = 1+7+7+8 = 23 = 2+3 = 5. 1778 — 5 = 1773. Сумма цифр 1773 = 1+7+7+3=18, делится на 9, число делится на 9, значит исходное число делится на 7.
Еще пример: 138 689 257. Сумма цифр = 49, приведенная сумма = 4. 138689257 — 4 = 138689253. Сумма цифр = 45, делится на 9.
Как узнать, делится ли число без остатка на 7 и 8
Далее. Число без остатка делится на 4, если делится на 4 число из двух последних его цифр. Число 100 делится без остатка на 4, и, следовательно, сколько сотен ни добавляй, оно все равно будет делиться на 4. Если двухзначное число выходит за таблицу умножения, то от него следует отнять 40 и узнать, делится ли полученное число на 4.
Когда я учился в школе и решал задачки по математике, очень часто хотелось узнать, делится одно число на другое (предполагается, что делитель меньше 10) или нет без остатка. Обычно при решении таких примеров учителя запрещали пользоваться калькулятором, а вычисления в «столбик» были относительно длительны. Я нередко ошибался и получал несуразные результаты. А знание того, что число заведомо разделится без остатка, было бы здесь совсем не лишним.
Начнем с числа 8 — это проще. Число 100 не делится без остатка на 8 (100: 8 = 12,5). И, следовательно, такой финт, как с четверкой, не пройдет. Например, 332. Число из двух последних цифр делится на 8, но 332: 8 = 41,5. Однако на 8 делится без остатка число 1000 (1000: 8 = 125). Таким образом, если трехзначное число, например 256, делится на 8, то к нему можно прибавить тысячу (которая тоже делится на 8), и оно по-прежнему будет делиться на 8.
Потом, не помню в каком классе, нам рассказали о некоторых признаках делимости. Давайте вместе вспомним их. (Предупреждение: я не являюсь ни учителем математики, ни аспирантом математических наук, поэтому буду излагать не научно правильно, а как умею. Учителям математики просьба — не придираться по этому поводу).
Например, 56. Вы, допустим, затрудняетесь сказать, делится ли оно на 4. Тогда от его нужно отнять 40. Получается 16, а оно делится на 4. Следовательно, и 56 делится на 4. А также 156, 356, 756, 1556, 3756 — все они будут делиться на 4. Значение имеют лишь две последние цифры числа.
На Что Делится 47 И 7
В школе сейчас проходят простые числа и делители, пытался объяснить тему по определению того, простое число или нет, для помощи в определении очень подходят признаки делимости на небольшие числа. Признак делимости на 2 знают все, на 3 — уже сложнее, на 5 — элементарно, на 9 — аналогично 3, на 11 тоже вспомнил, но вот коварной оказалась семерка, из школьного курса я признака делимости не смог вспомнить, поэтому попробовал сформулировать свой, вроде получилось, но как-то криво. Поэтому полез в интернет посмотреть, какие там велосипеды изобрели до меня. Но оказалось, что там изобрели еще более замороченную хрень:
Признак делимости на 7
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7 (например, 364 делится на 7, так как 36 — (2 × 4) = 28 делится на 7).
Есть и другой признак, из Википедии:
Число делится на 7 тогда и только тогда, когда модуль алгебраической суммы чисел, образующих нечётные группы по три цифры (начиная с единиц), взятых со знаком «+», и чётных со знаком «-» делится на 7. Например, 138 689 257 делится на 7.
Тоже неплохо, да?
А теперь мой признак делимости.
Число делится на 7, если разность числа и приведенной суммы его цифр делится на 9.
Что такое приведенная сумма цифр — не могу найти научное название, но это сумма цифр, которая не может быть больше 9. То есть, для числа 148 сумма цифра = 1 + 4 + 8 = 13, а приведенная сумма цифр — 1 + 3 = 4, так как 13 больше 9.
Признак же делимости на 9 достаточно прост — сумма цифр должна делиться на 9. Итого считаем приведенную сумму цифр, разность и новую сумму цифр — и все.
Пример: 1778 (254*7). Приведенная сумма цифр = 1+7+7+8 = 23 = 2+3 = 5. 1778 — 5 = 1773. Сумма цифр 1773 = 1+7+7+3=18, делится на 9, число делится на 9, значит исходное число делится на 7.
Еще пример: 138 689 257. Сумма цифр = 49, приведенная сумма = 4. 138689257 — 4 = 138689253. Сумма цифр = 45, делится на 9.
Приглашение в мир математики
Математика в 6 классе начинается с изучения понятия делимости и признаков делимости. Часто ограничиваются признаками делимости на такие числа:
- На 2: последняя цифра должна быть 0, 2, 4, 6 или 8;
- На 3: сумма цифр числа должна делиться на 3;
- На 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4;
- На 5: последняя цифра должна быть 0 или 5;
- На 6: число должно обладать признаками делимости на 2 и на 3;
- Признак делимости на 7 часто пропускается;
- Редко таже рассказывают и о признаке делимости на 8, хотя он аналогичен признакам делимости на 2 и на 4. Чтобы число делилось на 8, необходимо и достаточно, чтобы трёхцифреное окончание делилось на 8.
- Признак делимости на 9 знают все: сумма цифр числа должна делиться на 9. Что, правда, не развивает иммунитет против всяческих трюков с датами, которые используют нумерологи.
- Признак делимости на 10, наверное, самый простой: число должно оканчиваться нулём.
- Иногда шестиклассникам рассказывают и о признаке делимости на 11. Нужно цифры числа, стоящие на чётных местах сложить, из результата вычесть цифры, стоящие на нечётных местах. Если результат будет делиться на 11, то и само число делится на 11.
Вернёмся теперь к признаку делимости на 7. Если о нём рассказывают, тот объединяют с признаком делимости на 13 и советуют использовать так.
Признак делимости на 12 — это объединение признаков делимсоти на 3 и на 4. Это же работает и для любых n, являющихся произведением взаимнопростых p и q. Чтобы число делилось на n (которое равно произведению pq,актих, что НОД(p,q)=1), одно должно делиться одновремено на p и на q.
- Для14: на 2 и на 7;
- Для 15: на 3 и на 5;
- Для 18: на 2 и на 9;
- Для 21: на 3 и на 7;
- Для 20: на 4 и на 5 (или, по-другому, последняя цифра должна быть нулём, а предпоследняя — чётной);
- Для 24: на 3 и на 8;
- Для 26: на 2 и на 13;
- Для 28: на 4 и на 7.
Усовершенствованный признак делимости на 16.
Вместо того, чтобы проверять, делится ли 4-циферное окончание числа на 16, можно сложить цифру единиц с увеличенной в 10 раз цифрой десятков, с учетверённой цифрой сотен и с
увеличенной в восемь раз цифрой тысяч, и проверить, делится ли результат на 16.
При определении делимости на 27 часто, по аналогии с признаками делимости на меньшие степени тройки, пытаются рассматривать сумму цифр числа. Однако, тут немного сложнее. Можно, конечно, разбить число на блоки по 3 цифры и сложить их все. если результат будет делиться на 27, то и само число будет делиться на 27.
На Что Делится 47 И 7
Признак делимости на 17
Число делится на 17 тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с увеличенным в 12 раз числом единиц, кратно 17 (например, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+72=102→10+24=34. Поскольку 34 делится на 17, то и 29053 делится на 17). Признак не всегда удобен, но имеет определенное значение в математике. Есть способ немного попроще – Число делится на 17 тогда и только тогда, когда разность между числом его десятков и упятеренным числом единиц, кратно 17(например, 32952→3295-10=3285→328-25=303→30-15=15. поскольку 15 не делится на 17, то и 32952 не делится на 17)
Признак делимости на 99
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 99 тогда и только тогда, когда само число делится на 99.
Признак делимости на 10 n -1
Разобьем число на группы по n цифр справа налево (в самой левой группе может быть от 1 до n цифр) и найдем сумму этих групп, считая их n-значными числами. Эта сумма делится на 10 n — 1 тогда и только тогда, когда само число делится на 10 n — 1.
Признак делимости на 11
Число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма цифр с чередующимися знаками делится на 11 (то есть 182919 делится на 11, так как 1 — 8 + 2 — 9 + 1 — 9 = -22 делится на 11) — следствие факта, что все числа вида 10 n при делении на 11 дают в остатке (-1) n .
Призннак делимости на 101
Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть одна цифра) и найдем сумму этих групп с переменными знаками, считая их двузначными числами. Эта сумма делится на 101 тогда и только тогда, когда само число делится на 101. Например, 590547 делится на 101, так как 59-05+47=101 делится на 101).
Признаки делимости чисел
Это один из самых простых признаков делимости. Звучит он так: если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то оно чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.
Другими словами, если последняя цифра числа равна 2, 4, 6, 8 или — число делится на 2, если нет, то не делится
Например, числа: 234, 827, 1276, 9038, 502 делятся на 2, потому что они чётные.
А числа: 235, 137, 2303
на 2 не делятся, потому что они нечетные.
У этого признака делимости совсем другие правила: если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
А значит, чтобы понять, делится ли число на 3, надо лишь сложить между собой цифры, из которых оно состоит.
Выглядит это так: 3987 и 141 делятся на 3, потому что в первом случае 3+9+8+7=27 (27:3=9 — делится без остака на 3), а во втором 1+4+1=6 (6:3=2 — тоже делится без остака на 3).
А вот числа: 235 и 566 на 3 не делятся, потому как 2+3+5=10 и 5+6+6=17 (а мы знаем, что ни 10 ни 17 не делятся на 3 без остатка).
Признаки делимости чисел– это правила, позволяющие не производя деления сравнительно быстро выяснить, делится ли это число на заданное без остатка.
Некоторые из признаков делимости довольно просты, некоторые сложнее. На этой странице Вы найдете как признаки делимости простых чисел, таких как, например, 2, 3, 5, 7, 11, так и признаки делимости составных чисел, таких, как 6 или 12.
Надеюсь, данная информация будет Вам полезной.
Приятного обучения!
Признак делимости на 8 звучит так: если последние 3 цифры образуют число, делящееся на 8, или это 000, то заданное число делится на 8.
Числа 1000 или 1088 делятся на 8: первое оканчивается на 000, у второго 88:8=11 (делится на 8 без остатка).
А вот числа 1100 или 4757 не делятся на 8,так как числа 100 и 757 не делятся без остатка на 8.
Для того, чтобы выяснить, делится ли число на 11, надо получить разность сумм четных и нечетных цифр этого числа. Если данная разность равна 0 или делится на 11 без остатка, то и само число делится на 11 без остатка.
Чтобы было понятнее, предлагаю рассмотреть примеры: 2354 делится на 11, потому что (2+5)-(3+4)=7-7=0. 29194 тоже делится на 11, так как (9+9)-(2+1+4)=18-7=11.
А вот 111 или 4354 не делятся на 11, так как в первом случае у нас получается (1+1)-1=1, а во втором (4+5)-(3+4)=9-7=2.
– Я напомню, что министр иностранных дел России Сергей Лавров заявил: Москву настораживает требование Киева в течение нескольких дней прекратить военные действия, вывести войска с территории Украины, в случае заключения договора, и лишь потом ратифицировать его в парламенте. Он подчеркнул, что переговоры с Киевом не должны повторить судьбу минских договорённостей:
Мы ушли вглубь страны, а что в тылу? Ведь по науке как? Войска идут впереди, сзади занимает места военная полиция или Росгвардия. Создаются тыловые районы, которые обеспечивают дальнейшие действия – и административные, и правовые. А всего этого не произошло. Мы ушли вперёд, а сзади нас остались активно действующие бандформирования.
Елена Афонина: У вас обоих за плечами афганская кампания. Анатолий потом ещё служил в разведке в сирийском Алеппо, имеет два ордена Красной Звезды, два ордена Республики Сирия. И вы не побоитесь откровенно сказать, где мы недосмотрели, в чём вы видите промахи первого этапа? И главное: можем ли мы остановиться на линии Донбасса? А самое главное – вы понимаете, что происходит? Мы перегруппировываемся, мы отступаем, уступаем? Как вы оцениваете итоги первого этапа спецоперации?
А.М.: Да ничего не будет. Дело в том, что эти люди недоговороспособные. Правильно Сергей Лавров подметил, что они начали выдвигать требования. То есть у них прошёл первый ужас от начала войны. Опиум закончился, наркота закончилась, Зеленского заставили отрезветь, приехавшее новое окружение рассказало ему, как надо себя вести – как победитель. «Запомни, за тобой стоит великая Америка, которая тебе поможет. Давай!»
А дальше были обстрелы и бомбёжки городов – Краматорска, Семёновки, Славянска. Методы у них изначально были бесчеловечные, с гражданским населением они не считались. Могли организовать огневые точки в жилых домах. На нижних этажах мирные жители, а военные обустраивали позиции на верхних этажах и на крышах многоэтажек.
ОГЭ Информатика
Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ – это то же самое (почти), что и математическое сложение. В нашей обыденной жизни этой логической операции соответствует слово ИЛИ. Эту операцию для упрощения называют «логическое сложение» и даже обозначают знаком «+». Когда-то вы знакомились с таблицей сложения от 1 до 10. У нас всё проще, так как есть только 0 и 1 (ложь и истина).
Легко заметить, что в первых трёх строках полное соответствие с математикой и лишь последняя строка отличается. Тут нужно вспомнить, что на самом деле 0 – это ложь, а 1 – это истина. Последняя строка звучит: «Истина или истина – это истина». И это первое, что нужно запомнить.
Для успешного решения задачи на эту тему, достаточно знать три логические операции. Две из них можно сравнить с обыкновенными математическими операциями – сложением и умножением. С ними ни у кого не возникает проблем. Так что и с логическими операциями справимся.
Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ – это то же самое, что и математическое умножение. В нашей обыденной жизни этой логической операции соответствует слово И. Эту операцию для упрощения называют «логическое умножение» и даже обозначают знаком «∙». Когда-то вы знакомились с таблицей умножения от 1 до 10. У нас всё проще, так как есть только 0 и 1 (ложь и истина).
Наш калькулятор позволяет определить НОЗ для произвольного количества дробей, записанных как в обыкновенной, так и в десятичной форме. Для поиска НОЗ вам достаточно ввести значения через табуляцию или запятую, после чего программа вычислит общий знаменатель и выведет на экран преобразованные дроби.
В реальной жизни нам необходимо оперировать обыкновенными дробями. Однако чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, например, 2/3 и 5/7, нам потребуется найти общий знаменатель. Приведя дроби к общему знаменателю, мы сможем легко осуществить операции сложения или вычитания.
Второй способ — это простой перебор кратных и выбор из них наименьшего. Для поиска кратных мы умножаем число на 2, 3, 4 и так далее, поэтому количество кратных устремляется в бесконечность. Ограничить эту последовательность можно пределом, которое представляет собой произведение заданных чисел. К примеру, для чисел 12 и 20 НОК находится следующим образом:
Так как у нас 5 слагаемых, проще всего использовать способ поиска НОЗ по наибольшему числу. Проверяем 20 на делимость остальными числами. 20 не делится на 8 без остатка. Умножаем 20 на 2, проверим 40 на делимость — все числа делят 40 нацело. Это и есть наш общий знаменатель. Теперь для суммирования рациональных чисел нам необходимо определить дополнительные множители для каждой дроби, которые определяются как соотношение НОК к знаменателю. Дополнительные множители буду выглядеть так:
Если и числитель, и знаменатель дроби умножить или разделить на один и тот же коэффициент, то значение дроби не изменится. Это одно из самых важных свойств дробных чисел. К примеру, дробь 3/4 в десятичной форме записывается как 0,75. Если умножить числитель и знаменатель на 3, то получим дробь 9/12, что точно также равняется 0,75. Благодаря этому свойству мы можем умножать разные дроби таким образом, чтобы они все имели одинаковые знаменатели. Как это сделать?
Как определить делится ли число на 4 : две последние цифры в числе должны делиться на 4 ( 00 принимается за 100 ). Пример: 87524 делится на 4 , так как последние цифры 24 делятся 4; 6500 делится на 4 , так как последние цифры – 00 , а 100 делится на 4; 59431 не делится на 4 , так как 31 не делится на 4 без остатка.
Как определить делится ли число на 6 : число должно делится одновременно на 2 и на 3 , согласно вышеописанным признакам. Пример: 81 не делится на 6 , так как оно делится на 3 , но не делится на 2; 100 не делится на 6 , так как оно делится на 2 , но не делится на 3; 72 делится на 6 , так как оно делится и на 2 , и на 3 .
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произ ведение оставшихся множителей.
Разложим на множители числа 48 и 36, получим:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Из множителей, входящих в разложение первого из этих чисел, вычеркнем те, которые не входят в разложение второго числа (т. е. две двойки).
Остаются множители 2 * 2 * 3. Их произведение равно 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36. Так же находят наибольший общий делитель трёх и более чисел.
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Понятие наибольшего общего делителя (НОД) распространяется на любой набор из более чем двух целых чисел. Чаще всего НОД используется для сокращения дроби — если найти НОД числителя и знаменателя, то на это число можно сократить числитель и знаменатель данной дроби.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n без остатка. В школьной программе обозначается так: НОК(m, n)
Пример: НОК(16, 20) = 80
Одно из наиболее частых применений НОК — приведение дробей к общему знаменателю.
- 4800039 не делится без остатка на 6, т.к., это нечетное число;
- 4800040 не делится без остатка на 6, т.к., сумма цифр числа =16, а 16 не делится на 3 без остатка;
- 4800042 делится без остатка на 6, т.к., число четное и сумма цифр числа =18, и 18 делится нацело на 3.
Наиболее простым и очевидным является признак делимости на 2 — на 2 без остатка делятся все четные числа. В свою очередь, все числа, заканчивающиеся на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8) являются четными. Таким образом, если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8 — оно без остатка делится на 2.
- 588 делится без остатка на 4, т.к. 88 делится на 4 без остатка;
- 489022 не делится без остатка на 4, т.к., 22 не делится без остатка на 4;
- 9909080 делится без остатка на 4, т.к. 80 делится без остатка на 4;
- 344503043 не делится без остатка на 4, т.к., это нечетное число.
Чтобы узнать, делится ли число на 7 нацело, следует многозначное число разбить на две части, отделив три его последние цифры. Из получившихся двух чисел следует от большего отнять меньшее, если полученная разность будет нацело делиться на 7, то и само исходное число будет делиться без остатка на 7.
Признак делимости на 5: примеры, доказательство
Мы уже установили, что произведение a 1 · 10 из равенства a = a 1 · 10 + a 0 делится на 5 . Согласно свойству делимости, число a делится на пять при условии, что a 0 делится на 5 . Это возможно при двух значениях a 0 = 0 и a 0 = 5 . В то же время, если a 0 делится на 5 , то и a делится на 5 . Так мы доказали достаточность и необходимость.
Здесь также применимо решение, основанное на использовании формулы бинома Ньютона. Благодаря биному Ньютона мы можем представить подобные выражения как произведение. А дальше, основываясь на свойстве делимости, мы можем утверждать, что если хотя бы один из множителей делится на 5 , то и все произведение делится на 5 .
Согласно правилу умножения на 10 мы можем представить любое целое число a , в записи которого справа находится 0 , представить как произведение a 1 · 10 . Если в записи числа а справа содержится любая другая цифра a 0 , то a можно записать равенством вида a = a 1 · 10 + a 0 .
6 n + 10 n + 14 = ( 5 + 1 ) n + 10 n + 14 = = ( C n 0 · 5 n + C n 1 · 5 n — 1 · 1 + ⋯ + C n n — 2 · 5 2 · 1 n — 2 + C n n — 1 · 5 · 1 n — 1 + C n n · 1 n ) + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n — 1 · 1 + ⋯ + C n n — 2 · 5 2 + n · 5 + 1 + + 10 n + 14 = = 5 n + C n 1 · 5 n — 1 · 1 + ⋯ + C n n — 2 · 5 2 + 15 n + 15 = = 5 · 5 n — 1 + C n 1 · 5 n — 2 + … + C n n — 2 · 5 1 + 3 n + 3
Для того, чтобы доказать делимость на 5 , мы можем также использовать метод математической индукции. Сейчас мы продемонстрируем применение этого метода для того, чтобы доказать, что при любом натуральном n значение выражения 6 n + 10 n + 14 делится на 5 .
